الفصل 25 من 29 · 5 دقائق قراءة

ورقة الصيغ المرجعية

The reference sheet

داخل قسم الرياضيات فيه ورقة صيغ هندسية جاهزة تقدر ترجع لها في أي سؤال. وسهل إنك تتكل عليها أكثر من اللازم وتفترض إنها بتنقذك في كل شيء، وهي في الحقيقة ما تغطي إلا زاوية صغيرة من اللي بتحتاجه فعلًا. هذا الفصل يعطيك محتواها بالضبط، والأهم منه: قائمة الصيغ عالية التكرار اللي ما هي فيها ولازم تكون محفوظة عندك قبل ما تدخل القاعة.

وش هي هذي الورقة، ووين تلقاها

ورقة الصيغ المرجعية (reference sheet) هي مجموعة صيغ هندسية معروضة داخل قسم الرياضيات في تطبيق Bluebook، تفتحها من أدوات الشاشة في أي لحظة وفي أي سؤال، في الوحدة الأولى والوحدة الثانية. مو ورقة تجيبها معك ولا شيء تطلبه من المراقب، هي جزء من الاختبار نفسه ومتاحة لك من أول ثانية.

وقبل ما نكمل، ثلاث نقاط تحدد قيمتها الحقيقية:

محتواها هندسي بحت. ما فيها ولا صيغة جبر، ولا إحصاء، ولا نمو أسي، ولا حتى صيغة الميل. أي شيء برا الهندسة لازم يكون محفوظ عندك.
محتواها ثابت ومعروف مسبقًا. نفس الصيغ لكل الطلاب وفي كل مرة، فما فيه سبب يخليك تشوفها لأول مرة يوم الاختبار.
الوقت ما ينوقف وأنت تفتحها. عندك ٤٤ سؤال في ٧٠ دقيقة، يعني حوالي ٩٥ ثانية للسؤال الواحد. لو صرت تقلّب فيها وتدوّر عن صيغة، يروح عليك جزء معتبر من وقت السؤال قبل ما تبدأ الحل أصلًا.

فالهدف الصح مو إنك تعتمد عليها، الهدف إنك تعرف محتواها عن ظهر قلب لدرجة إنك تفتحها للتأكيد بس، مثل ما تتأكد من رقم قبل لا تكتبه. وتذكّر إن الآلة الحاسبة مسموحة في قسم الرياضيات كامل، وفيه Desmos مدمج داخل Bluebook، يعني أدواتك أكثر من ورقة وحدة، والورقة واحدة منها مو كلها.

وش فيها بالضبط: المساحات والمثلث القائم

أول مجموعة في الورقة هي مساحات ومحيطات الأشكال المستوية:

الدائرة (circle): المساحة $A = \pi r^2$ والمحيط $C = 2\pi r$ ، حيث $r$ نصف القطر.
المستطيل (rectangle): المساحة $A = \ell w$ ، الطول في العرض.
المثلث (triangle): المساحة $A = \frac{1}{2} b h$ ، حيث $b$ القاعدة و $h$ الارتفاع العمودي عليها.

وبعدها نظرية فيثاغورس (Pythagorean theorem) للمثلث القائم الزاوية:

c^2 = a^2 + b^2

حيث $c$ هو الوتر (hypotenuse)، وهو دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة وأطول ضلع في المثلث.

وأخيرًا المثلثان القائمان الخاصان (special right triangles)، ومرسومان في الورقة كشكلين مع نسب أضلاعهما:

مثلث $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ : الضلعان المتساويان $s$ و $s$ ، والوتر $s\sqrt{2}$ .
مثلث $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ : الضلع المقابل للزاوية $30^\circ$ طوله $x$ ، والمقابل للزاوية $60^\circ$ طوله $x\sqrt{3}$ ، والوتر $2x$ .

وعشان ما تقلب النسبة وأنت مستعجل، امش على قاعدة تحميك: الضلع الأطول يقابل الزاوية الأكبر دائمًا. فلو طلع عندك $x\sqrt{3}$ مقابل الزاوية $30^\circ$ ، فأنت قالب النسبة وارجع صحّح.

وش فيها بالضبط: الحجوم وثلاث حقائق جاهزة

المجموعة الثانية هي حجوم المجسمات، وهي خمسة بالضبط:

متوازي المستطيلات (rectangular solid): $V = \ell w h$
الأسطوانة (cylinder): $V = \pi r^2 h$
الكرة (sphere): $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
المخروط (cone): $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
الهرم (pyramid): $V = \frac{1}{3} \ell w h$

ولاحظ النمط اللي يريّح ذاكرتك: المخروط ثلث الأسطوانة اللي لها نفس القاعدة ونفس الارتفاع، والهرم ثلث متوازي المستطيلات بنفس المنطق. ونسيان هذا الثلث من الأخطاء المتكررة، ويطلع جوابك أكبر ثلاث مرات من الصحيح، وتوقّع إن هذي القيمة الغلط تكون معروضة ضمن الخيارات.

وفي الورقة كذلك ثلاث حقائق مكتوبة كجُمل لا كصيغ:

عدد الدرجات في الدائرة $360$ .
عدد الراديان في الدائرة $2\pi$ .
مجموع قياسات زوايا المثلث $180$ درجة.

ومن أول حقيقتين تطلع لك قاعدة التحويل بين الدرجات والراديان مباشرة:

180^\circ = \pi \text{ radians}

مثال سريع على الحجوم. سؤال بصيغة The volume of a right circular cylinder is 96π and its height is 6. What is the radius? نعوّض في صيغة الأسطوانة:

\pi r^2 (6) = 96\pi

نقسم الطرفين على $6\pi$ فيطلع $r^2 = 16$ ، يعني $r = 4$ . الورقة أعطتك الصيغة، والباقي شغل جبر لازم يكون سريع عندك.

اللي ما راح تلقاه: الإحداثيات والجبر

هنا الجزء اللي يفرق في درجتك فعلًا. الصيغ التالية تتكرر بكثرة في الاختبار، وما فيه ولا وحدة منها في الورقة، يعني كلها حفظ:

الميل (slope) بين نقطتين:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

نقطة المنتصف (midpoint) بين نقطتين:

\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

المسافة (distance) بين نقطتين:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

الصيغة التربيعية (quadratic formula) لحل $ax^2 + bx + c = 0$ :

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

معادلة الدائرة (equation of a circle) اللي مركزها $(h, k)$ ونصف قطرها $r$ :

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

وفيه رابط يخفف عنك الحفظ: صيغة المسافة هي فيثاغورس بلبس ثاني. الفرق بين الإحداثيات السينية ضلع، والفرق بين الصادية ضلع، والمسافة هي الوتر. فلو خانتك الذاكرة يوم الاختبار، ارسم المثلث القائم واستخدم الصيغة اللي في الورقة أصلًا.

ومعادلة الدائرة تجيك أحيانًا مفكوكة، مثل $x^2 + y^2 - 6x + 4y = 12$ . هنا لازم تكمل المربع عشان ترجعها للصيغة القياسية:

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25

يعني المركز $(3, -2)$ ونصف القطر $5$ . الورقة ما تعطيك ولا خطوة من هذا الحل.

اللي ما راح تلقاه: النسب والنمو والقوس والمثلثات

وهذي بقية قائمة الحفظ، وكلها عالية التكرار:

نسبة التغيّر المئوية (percent change):

\text{percent change} = \frac{\text{new} - \text{old}}{\text{old}} \times 100

المتوسط الحسابي (average or mean):

\text{mean} = \frac{\text{sum}}{\text{count}}

واحفظها بصيغتها المقلوبة كمان، لأن كثير من الأسئلة تعطيك المتوسط وعدد القيم وتبيك تطلع المجموع: المجموع يساوي المتوسط مضروبًا في العدد. فأول خطوة عندك في هالنوع إنك تطلع المجموع، وبعدها يسهل الباقي.

النمو والاضمحلال الأسي (exponential growth and decay) بقيمة ابتدائية $a$ ومعدل $r$ لكل فترة:

y = a(1 + r)^t \qquad y = a(1 - r)^t

طول القوس (arc length) ومساحة القطاع (sector area) لزاوية مركزية $\theta$ بالدرجات:

\text{arc} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r \qquad \text{sector} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2

النسب المثلثية في المثلث القائم، وتُختصر بـ SOHCAHTOA:

\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} \quad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}} \quad \tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}

وانتبه لفكرة مهمة في القوس والقطاع: الورقة تعطيك محيط الدائرة كاملة ومساحتها كاملة، وأنت اللي تضرب في الكسر $\frac{\theta}{360}$ . يعني توصلك نص الطريق وتوقف.

مثال: دائرة نصف قطرها $6$ وزاويتها المركزية $60^\circ$ .

\text{arc} = \frac{60}{360} \times 2\pi(6) = 2\pi

\text{sector} = \frac{60}{360} \times \pi(6)^2 = 6\pi

ولو جتك الزاوية بالراديان بدل الدرجات، استخدم $s = r\theta$ لطول القوس و $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ لمساحة القطاع.

وفيه نقطة عملية لازم تنتبه لها هنا. أجوبة القوس والقطاع تطلع لك كثير بصيغة فيها $\pi$ ، وهذا ما فيه مشكلة لو السؤال اختيار من متعدد. لكن لو السؤال من نوع الإجابة الحرة (student-produced response) اللي تكتب فيه الجواب بنفسك، فخانة الإجابة تقبل أرقامًا وكسورًا عادية فقط، بلا وحدات ولا رموز. يعني $6\pi$ ما ينكتب كذا، لازم تحسب قيمته العشرية بالحاسبة وتكتبها.

وعشان تكون قواعد الخانة واضحة عندك من الحين:

عندك خمس خانات للجواب الموجب وست للجواب السالب، والسالب تُحسب فيه إشارة الناقص خانة.
الكسر والعدد العشري كلاهما مقبول، بس العدد الكسري (mixed number) مثل $1\frac{1}{2}$ غير مقبول، اكتبه $3/2$ أو $1.5$ .
لو الجواب عدد عشري طويل ما يكفي في الخانات، اقطعه أو قرّبه، بس عبّي الخانات كلها ولا تختصر أكثر من اللازم.

قرار يوم الاختبار: متى تفتحها ومتى لا

الورقة أداة، والأداة تنفعك أو تكلفك حسب وقت استخدامها. خذ هذي القاعدة الثلاثية وقرر فيها خلال ثانية:

تعرف الصيغة وأنت واثق: لا تفتح الورقة. اكتب وحل. فتحها هنا خسارة وقت صافية.
تعرفها لكن متردد في تفصيل فيها، مثل: هل فيه ثلث ولا لا؟ هل هو $r^3$ ولا $r^2$ ؟ افتح الورقة، تأكد، اقفلها، كمّل. هذا أفضل استخدام لها على الإطلاق.
ما تعرف الصيغة أصلًا: افتح بسرعة، ولو ما لقيت طلبك فيها، فهذا معناه إن الصيغة من النوع اللي المفروض يكون محفوظ. خمّن، علّم السؤال للمراجعة (mark for review)، وامش فورًا. ما فيه خصم على الغلط، فلا تترك أي سؤال فاضي.

وأهم شيء تفهمه عن هذي الورقة: هي ما تقول لك أي صيغة تستخدم. تعطيك حجم المخروط، لكن ما تعرّفك إن السؤال أصلًا يبي حجم مخروط. الترجمة من نص السؤال إلى الصيغة الصحيحة هي مهارتك أنت، وهي اللي تنبني بالتدريب لا بالورقة.

فخلّ تدريبك بهذي الطريقة العملية: من اليوم، حل أسئلة الهندسة والورقة مفتوحة جنبك، لكن سجّل كل مرة تحتاج ترجع لها. بعد أسبوعين، الصيغ اللي رجعت لها أكثر من مرتين هي قائمة الحفظ الشخصية لك، واشتغل عليها بالذات. والمطلوب في الآخر إنك تدخل القاعة وأنت متعوّد على شكل الورقة وترتيب صيغها ومكان كل صيغة فيها، لا إنك تكتشفها وأنت تحت المؤقّت.

احفظ هذا

الورقة متاحة في قسم الرياضيات كامل، ومحتواها هندسي بحت: مساحات، فيثاغورس، المثلثان الخاصان، خمسة حجوم، وثلاث حقائق عن الدرجات والراديان وزوايا المثلث.
أخطر ما فيها هو اللي ما فيها: الميل، المنتصف، المسافة، الصيغة التربيعية، معادلة الدائرة، نسبة التغيّر، المتوسط، النمو الأسي، القوس والقطاع، والنسب المثلثية SOHCAHTOA.
حجم المخروط والهرم فيهما ثلث، ونسيانه يعطيك جوابًا أكبر ثلاث مرات، وتوقّع تلقى هذي القيمة الغلط بين الخيارات.
افتح الورقة للتأكيد السريع فقط، لا للبحث، لأن معدلك حوالي ٩٥ ثانية للسؤال.
الورقة ما تختار لك الصيغة المناسبة، فتدرّب على ترجمة نص السؤال إلى صيغة، وادخل الاختبار وأنت متعوّد على شكل الورقة وترتيب صيغها.
لو جاك جواب فيه $\pi$ في سؤال إجابة حرة، حوّله لعدد عشري، لأن الخانة تقبل أرقامًا وكسورًا فقط بلا رموز ولا وحدات، والعدد الكسري غير مقبول.