الفصل 21 من 29 · 8 دقائق قراءة

الرياضيات المتقدمة

Advanced Math

الرياضيات المتقدمة (Advanced Math) حوالي ٣٥٪ من أسئلة قسم الرياضيات، يعني قرابة ١٥ سؤالاً من أصل ٤٤، وهي بنفس وزن الجبر تمامًا. الفرق إن أسئلتها نادرًا تنحل بخطوة وحدة، تحتاج تعرف أي صيغة تستخدم ومتى، وتعرف متى الجواب اللي طلع لك مو جواب أصلاً. هذا الفصل يعطيك الأدوات اللي تغطي أغلب هذي الأسئلة: التربيعيات، ترميز الدوال، كثيرات الحدود، الدوال الأسية، والمعادلات الجذرية والكسرية.

التربيعية: ثلاث صيغ، وكل صيغة تعطيك معلومة مجانية

الدالة التربيعية (quadratic) هي أي دالة أعلى أس فيها ٢ ومعامل هذا الأس ما يساوي صفرًا، ورسمها البياني قطع مكافئ (parabola). ولما نساوي المقدار التربيعي بصفر تصير معادلة تربيعية، وحلولها هي قيم $x$ اللي يقطع عندها الرسم محور السينات. وأهم فكرة في الموضوع كله: نفس التربيعية تنكتب بثلاث صيغ مختلفة، وكل صيغة تعطيك معلومة جاهزة بدون أي حساب. والسؤال في السات غالبًا يعطيك صيغة ويطلب معلومة ساكنة في صيغة ثانية، فشغلك إنك تعرف وين تروح.

الصيغة القياسية (standard form):

y = ax^2 + bx + c

تعطيك المقطع الصادي مباشرة وهو $c$ ، لأن $x = 0$ يلغي أول حدين. وإشارة $a$ تقول لك اتجاه الفتحة: لو $a > 0$ الفتحة لفوق والرأس أدنى نقطة، ولو $a < 0$ الفتحة لتحت والرأس أعلى نقطة.

صيغة العوامل (factored form):

y = a(x - r_1)(x - r_2)

تعطيك الجذور $r_1$ و $r_2$ مباشرة، وهي نفسها أصفار الدالة (zeros)، وهي قيم $x$ عند المقاطع السينية (x-intercepts)، يعني عند النقطتين $(r_1, 0)$ و $(r_2, 0)$ . كلها أسماء لشيء واحد، فلا تربكك لما تتبدل الكلمة عليك في نص السؤال.

صيغة الرأس (vertex form):

y = a(x - h)^2 + k

تعطيك الرأس (vertex) عند $(h, k)$ ، ومحور التماثل $x = h$ ، والقيمة الصغرى أو العظمى للدالة وهي $k$ . وانتبه للإشارة داخل القوس: $y = (x - 3)^2 + 5$ رأسه $(3, 5)$ ، لكن $y = (x + 3)^2 - 5$ رأسه $(-3, -5)$ .

وعشان تتنقل بين الصيغ بسرعة:

من القياسية إلى الرأس: احسب $h = -\frac{b}{2a}$ ثم عوّض بها في الدالة عشان تطلع $k$ .
الرأس دائمًا في منتصف الجذرين، يعني $h = \frac{r_1 + r_2}{2}$ .
بإكمال المربع: $y = x^2 - 6x + 5$ تصير $y = (x - 3)^2 - 4$ ، فالرأس $(3, -4)$ والقيمة الصغرى $-4$ .

وترجم كلمات السؤال أول ما تقراها: minimum value أو maximum value تعني $k$ ، و the x-coordinate of the vertex تعني $h$ ، وأي سؤال يقول when does the ball hit the ground يعني حط $y = 0$ ودوّر الجذور.

حل التربيعية: التحليل أولاً، ثم القانون العام، ثم المميّز

عندك ثلاث أدوات، ورتّبها بهذا الترتيب عشان توفر وقت.

الأداة الأولى: التحليل (factoring). لو المعامل اللي قدام $x^2$ يساوي ١، دوّر عددين حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ :

x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

لأن $3 \times 4 = 12$ و $3 + 4 = 7$ . وبعدها تستخدم خاصية الضرب الصفري (zero product property): إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا فلازم أحدهما صفر، يعني $x = -3$ أو $x = -4$ .

واحفظ فرق المربعين لأنه يتكرر كثير:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

فـ $x^2 - 25$ هي $(x - 5)(x + 5)$ ، و $4x^2 - 9$ هي $(2x - 3)(2x + 3)$ .

الأداة الثانية: القانون العام (quadratic formula). لما يفشل التحليل أو تحس إنك بتضيع وقت في التجريب، هذا القانون يشتغل مع أي $ax^2 + bx + c = 0$ :

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

وانتبه: هذا القانون مو موجود في ورقة المعادلات اللي يعطيك إياها الاختبار، لأن تلك الورقة قوانين هندسية بس. فلازم تحفظه أنت.

مثال: $2x^2 + 5x - 3 = 0$ ، وفيها $a = 2$ و $b = 5$ و $c = -3$ :

x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4}

ولاحظ ليش صار $+24$ : لأن $c$ نفسها سالبة، و $-4ac$ فيها سالب مضروب في سالب فيطلع موجب. خذ وقتك في هذي الخطوة، أغلب أخطاء القانون العام إشارة مو حساب.

فيطلع $x = 0.5$ أو $x = -3$ . ونتحقق بالأول: $2(0.25) + 2.5 - 3 = 0$ . تمام.

الأداة الثالثة: المميّز (discriminant). لاحظ الجزء اللي تحت الجذر في القانون العام، وهو $b^2 - 4ac$ . هذا الجزء وحده يقول لك عدد الحلول الحقيقية بدون ما تكمل الحل:

$b^2 - 4ac > 0$ : حلان حقيقيان مختلفان، والقطع يقطع محور السينات في نقطتين.
$b^2 - 4ac = 0$ : حل حقيقي واحد بالضبط، والقطع يلامس المحور في نقطة وحدة وهي رأسه.
$b^2 - 4ac < 0$ : ولا حل حقيقي، والقطع ما يلمس المحور أبدًا.

ومن أشهر الصيغ اللي يجيك فيها هذا المفهوم: يعطونك ثابتًا مجهولاً ويقولون the equation has exactly one real solution، وترجمتها المباشرة إنك تحط المميّز يساوي صفر وتحل. مثال: لو كانت $x^2 + kx + 16 = 0$ لها حل حقيقي واحد بالضبط، فإن $k^2 - 64 = 0$ ، يعني $k = 8$ أو $k = -8$ .

مثال محلول بالكامل: كم حل حقيقي لهذي المعادلة؟

هذا سؤال مصاغ على نفس نمط صياغة College Board:

2x^2 - 4x + 5 = 0

How many distinct real solutions does the given equation have?

A) Exactly one

B) Exactly two

C) Infinitely many

D) Zero

الخطوة الأولى: لا تحل المعادلة. السؤال يسأل عن عدد الحلول الحقيقية لا عن قيمها، وهذي وظيفة المميّز بالضبط.

الخطوة الثانية: حدد المعاملات من الصيغة القياسية: $a = 2$ ، $b = -4$ ، $c = 5$ . وخذ الإشارة معك، $b$ هو $-4$ مو $4$ .

الخطوة الثالثة: احسب المميّز:

b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(5) = 16 - 40 = -24

الخطوة الرابعة: المميّز سالب، والجذر التربيعي لعدد سالب ما يعطي عددًا حقيقيًا. إذًا ما فيه ولا حل حقيقي. الجواب D.

وتقدر تتأكد بثانيتين في آلة Desmos الموجودة جوا تطبيق Bluebook، والآلة الحاسبة متاحة لك في قسم الرياضيات كامل، أو تتأكد بيدك عن طريق الرأس: $h = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{4} = 1$ ، وعند $x = 1$ تكون $y = 2 - 4 + 5 = 3$ . يعني أدنى نقطة في القطع ارتفاعها $3$ ، والفتحة لفوق لأن $a > 0$ ، فالمنحنى كله فوق محور السينات وما يلمسه أبدًا.

وليش بقية الخيارات غلط:

A) Exactly one: هذي الحالة تصير فقط لما يكون المميّز صفرًا بالضبط، يعني $b^2 = 4ac$ ، وعندنا هنا معناها $16 = 40$ وهي جملة كاذبة. والطالب يوقع في هذا الخيار لما يخلط بين رأس القطع وبين نقطة التقاطع مع المحور. الرأس موجود دائمًا في أي قطع مكافئ، لكنه ما يُعد حلاً إلا إذا كان جالسًا على المحور نفسه.
B) Exactly two: غلطة إشارة أو غلطة قاعدة. بعض الطلاب يحسبونها $16 + 40 = 56$ لأنهم ضيعوا السالب اللي قدام $4ac$ ، فيطلع لهم مميّز موجب. وبعضهم يفترض إن كل معادلة من الدرجة الثانية لها حلان لأن أسها ٢. الكلام هذا صحيح في مجال الأعداد المركبة، وبشرط نعد الحل المكرر مرتين، لكن السؤال يقول real solutions، وكلمة real هي كل الفرق.
C) Infinitely many: هذا الخيار مسحوب من أسئلة المعادلات الخطية، حيث يختفي المتغير من الطرفين وتبقى جملة صحيحة دائمًا مثل $6 = 6$ . وهو مستحيل في تربيعية حقيقية، لأن $a \neq 0$ معناها عندك قطع مكافئ ثابت الشكل، وهذا القطع يقطع محور السينات في نقطتين أو نقطة أو ولا نقطة، وما فيه احتمال رابع.

والدرس اللي تاخذه ليوم الاختبار: أي سؤال يبدأ بـ how many أو يذكر exactly one real solution أو no real solutions، يدك تروح على $b^2 - 4ac$ قبل أي شيء ثاني، وتوفر على نفسك حلاً كاملاً ما كان له داعٍ.

ترميز الدوال والتركيب: الرمز مو عملية ضرب

ترميز الدالة (function notation) هو $f(x)$ ، وتُقرأ "f of x". وأول شيء لازم يثبت عندك إنها مو ضرب، بل معناها القاعدة $f$ مطبقة على المدخل $x$ ، والحرف $x$ مجرد مكان فاضي تعبّيه بأي شيء.

خذ $f(x) = 2x^2 - 5$ :

$f(3) = 2(9) - 5 = 13$ .
$f(-3) = 2(9) - 5 = 13$ كذلك، لأن التربيع يلغي السالب.
$f(a + 1) = 2(a + 1)^2 - 5 = 2a^2 + 4a - 3$ . عوّض المقدار كامل بين قوسين ولا تفرّقه.

وانتبه لفرق يخسر درجات وهو صغير في الشكل: $f(3)$ تعني عوّض بـ ٣ وطلّع الناتج، أما $f(x) = 3$ فهي العكس تمامًا، سوّ معادلة وحل لـ $x$ . في مثالنا: $2x^2 - 5 = 3$ تعطي $x^2 = 4$ ، يعني $x = 2$ أو $x = -2$ .

ونفس التمييز يشتغل على الرسم البياني: $f(3)$ يعني روح عند $x = 3$ واقرأ ارتفاع المنحنى، و $f(x) = 0$ يعني دوّر المقاطع السينية.

التركيب (composition) هو $f(g(x))$ ، ويعني طبّق $g$ أول، وخذ الناتج وحطه في $f$ . دائمًا من الداخل للخارج. خذ $f(x) = x^2 + 1$ و $g(x) = 3x - 2$ :

$f(g(2))$ : أولاً $g(2) = 4$ ، ثم $f(4) = 17$ .
$g(f(2))$ : أولاً $f(2) = 5$ ، ثم $g(5) = 13$ .

النتيجتان مختلفتان، والترتيب هنا يقلب الجواب كامل. وكثير مرات يكون أحد الخيارات الغلط هو بالضبط ناتج الترتيب المعكوس، فاقرأ أي قوس داخل قوس مرتين قبل ما تبدأ.

وفيه سؤال يتكرر بصيغة the graph of y = f(x) + 5 أو y = f(x + 5)، والقاعدة: الرقم اللي برا الدالة يحرّك الرسم رأسيًا بنفس اتجاه إشارته، والرقم اللي جوا القوس يحرّكه أفقيًا بالاتجاه المعاكس. يعني $f(x) + 5$ ترفع الرسم خمس وحدات لفوق، و $f(x + 5)$ تزحلقه خمس وحدات لليسار.

كثيرات الحدود ومبرهنة العامل

كثير الحدود (polynomial) هو مجموع حدود، كل حد فيه عدد مضروب في $x$ مرفوع لأس صحيح غير سالب، مثل $p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ . والعمليات عليه مباشرة:

الجمع والطرح: اجمع الحدود المتشابهة فقط، ووزّع السالب على كل حد داخل القوس. مثال: $(3x^2 + 2x - 5) - (x^2 - 4x + 1) = 2x^2 + 6x - 6$ . لاحظ إن $2x - (-4x) = 6x$ ، وهذي من أكثر النقاط اللي تضيع فيها درجة بسبب إشارة واحدة.
الضرب: وزّع كل حد على كل حد. $(2x - 1)(x + 5) = 2x^2 + 10x - x - 5 = 2x^2 + 9x - 5$ .

الآن الأداة الكبيرة في هذا الفصل، مبرهنة العامل (factor theorem). تقول: المقدار $(x - a)$ يكون عاملاً لـ $p(x)$ إذا وفقط إذا كان $p(a) = 0$ .

ومعناها العملي إن هذي العبارات الأربع تقول نفس الشيء بأربع لغات مختلفة:

$p(a) = 0$ .
$(x - a)$ عامل من عوامل $p(x)$ .
العدد $a$ صفر للدالة (zero).
النقطة $(a, 0)$ مقطع سيني في رسم $p$ .

يعني لما يعطيك السؤال أي وحدة منها، تكون حصّلت الثلاث الباقيات مجانًا. ومعها مبرهنة الباقي (remainder theorem): لو قسمت $p(x)$ على $(x - a)$ ، فالباقي هو $p(a)$ بالضبط. فلو سألوك عن باقي القسمة، لا تسوي قسمة مطولة، عوّض وخلاص.

مثال على الاستخدام الأشهر. لو كان $(x - 5)$ عاملاً لـ $p(x) = x^2 + kx - 15$ ، وش قيمة $k$ ؟ نطبّق المبرهنة: $p(5) = 0$ ، يعني $25 + 5k - 15 = 0$ ، يعني $5k = -10$ و $k = -2$ . ونتحقق: $x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$ . تمام.

ومثال ثاني: عندك $p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ وتبي أصفاره. جرّب أعدادًا صغيرة تقسم الحد الثابت ٦. عند $x = -1$ يطلع $-1 - 4 - 1 + 6 = 0$ ، إذًا $(x + 1)$ عامل، وبالقسمة يتبقى $x^2 - 5x + 6$ اللي تتحلل إلى $(x - 2)(x - 3)$ . فالأصفار هي $-1$ و $2$ و $3$ .

وفي أسئلة الرسم، خلي هذي التفصيلة واضحة عندك: كل صفر حقيقي مختلف يقابله مقطع سيني واحد على المحور، لكن مو كل مقطع يعبره المنحنى فعلاً. لو كان العامل مكررًا عددًا زوجيًا من المرات مثل $(x - 4)^2$ ، فالمنحنى يلامس المحور عند $x = 4$ ويرجع من نفس الجهة بدون ما يعبره. ولو كان العامل مفردًا أو مكررًا عددًا فرديًا من المرات، فالمنحنى يعبر المحور ويغيّر إشارته. فلما يعطونك رسمًا ويسألون عن عدد الأصفار الحقيقية المختلفة، عد نقاط التلامس مع نقاط العبور، لا نقاط العبور وحدها.

الدوال الأسية: عامل النمو وعامل الاضمحلال

الفرق بين الدالة الخطية والدالة الأسية فرق عملية حسابية وحدة: الخطية تضيف مقدارًا ثابتًا في كل خطوة، والأسية تضرب في عامل ثابت في كل خطوة.

الدالة الأسية (exponential function) شكلها:

f(x) = a \cdot b^x

$a$ هي القيمة الابتدائية (initial value)، أي قيمة الدالة عند $x = 0$ .
$b$ هي عامل النمو أو الاضمحلال (growth or decay factor)، وهو الرقم اللي تضرب فيه كل فترة.

والحكم على السلوك يطلع من $b$ وحدها: لو $b > 1$ فهذا نمو (growth) والقيمة تزيد، ولو $0 < b < 1$ فهذا اضمحلال (decay) والقيمة تنقص.

وترجمة النسبة المئوية إلى عامل هي أكثر شيء يجيك عليه السؤال:

زيادة $r$ بالمئة كل فترة تعني $b = 1 + \frac{r}{100}$ . فزيادة ٨٪ تعطي $b = 1.08$ .
نقصان $r$ بالمئة كل فترة تعني $b = 1 - \frac{r}{100}$ . فنقصان ٢٠٪ يعطي $b = 0.8$ .

وانتبه هنا تحديدًا: النقصان ٢٠٪ يعني تضرب في $0.8$ ، ما يعني تضرب في $0.2$ ولا تطرح $0.2$ . العامل $0.2$ معناه نقصان ٨٠٪ لا ٢٠٪، وهذي من أشهر الأخطاء في هذا النوع من الأسئلة.

مثال: مبلغ قيمته ٥٠٠٠ ريال وينمو ٨٪ سنويًا، والمطلوب دالة تعطي القيمة بعد $t$ سنة:

f(t) = 5000(1.08)^t

وبعد ٣ سنوات تكون القيمة $5000 \times 1.08^3 = 6298.56$ ريال.

وفيه تفصيلة تفرق كثير في الخيارات: لو كانت فترة التغير مختلفة عن وحدة $t$ ، اقسم الأس على طول الفترة. كمية تتضاعف كل ٦ ساعات و $t$ بالساعات تُكتب:

f(t) = a \cdot 2^{t/6}

وكمية تنقص للنصف كل ١٠ سنوات و $t$ بالسنوات تُكتب $f(t) = a(0.5)^{t/10}$ .

وفي أسئلة الجداول، ميّز النوع بخطوة وحدة. احسب الفرق بين القيم المتتالية: لو الفرق ثابت فالعلاقة خطية، ولو النسبة ثابتة فالعلاقة أسية. جدول قيمه $3$ ثم $6$ ثم $12$ ثم $24$ فروقه متغيرة لكن نسبته ثابتة عند $2$ ، فهو أسي لا خطي.

وفيه نوع قريب من هذا الدرس يجيك بصيغة معادلة أسية، يعني المجهول نفسه في الأس. الحيلة فيه إنك تكتب الطرفين بنفس الأساس، وبعدها ساوِ الأسّين وخلاص. مثال: $2^{x+1} = 32$ . نكتب $32 = 2^5$ ، فتصير $2^{x+1} = 2^5$ ، ومنها $x + 1 = 5$ يعني $x = 4$ . ونفس الشيء مع $9^x = 27$ : نرجّع الاثنين للأساس $3$ فتصير $3^{2x} = 3^3$ ، ومنها $x = 1.5$ .

واللي يخدمك في هذي الأسئلة قوانين الأسس، خصوصًا ثلاثة منها:

$b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ و $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$ و $(b^m)^n = b^{mn}$ .
الأس السالب يقلب الكسر: $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$ ، فمثلاً $2^{-3} = \frac{1}{8}$ .
الأس الكسري جذر: $b^{1/n} = \sqrt[n]{b}$ وبشكل عام $b^{m/n} = \sqrt[n]{b^m}$ ، فمثلاً $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$ .

وهذي الأخيرة تحديدًا يحبها الاختبار: يعطيك مقدارًا مكتوبًا بالجذور ويطلب منك الخيار المكافئ له مكتوبًا بالأسس، أو العكس. فحوّل كل شيء لأسس، بسّط، ثم رجّعه لصيغة الخيارات.

المعادلات الجذرية والكسرية: الحل الدخيل اللي يوقعك

هذا النوع فيه فخ من نوع خاص: تحل صح، ويطلع لك جواب موجود بين الخيارات، ويكون غلط. اسمه الحل الدخيل (extraneous solution).

المعادلة الجذرية (radical equation) تنحل بثلاث خطوات:

اعزل الجذر في طرف لحاله.
ربّع الطرفين وحل المعادلة الناتجة، وغالبًا تطلع تربيعية.
عوّض بكل حل في المعادلة الأصلية واشطب اللي ما يضبط. هذي الخطوة مو اختيارية.

مثال:

\sqrt{x + 7} = x - 5

نربّع الطرفين فتصير $x + 7 = x^2 - 10x + 25$ ، ننقل كل شيء لطرف واحد فتصير $x^2 - 11x + 18 = 0$ ، ونحلل: $(x - 2)(x - 9) = 0$ . فطلع عندنا مرشحان: $x = 2$ و $x = 9$ .

نتحقق من $x = 9$ : الطرف الأيسر $\sqrt{16} = 4$ ، والطرف الأيمن $9 - 5 = 4$ . متساويان، فهو حل صحيح.

نتحقق من $x = 2$ : الطرف الأيسر $\sqrt{9} = 3$ ، والطرف الأيمن $2 - 5 = -3$ ، و $3 \neq -3$ . إذًا هو حل دخيل ويُشطب، والجواب النهائي $x = 9$ وحده.

وليش صار هذا؟ لأن التربيع حوّل الجملة الكاذبة $3 = -3$ إلى جملة صحيحة $9 = 9$ . ورمز الجذر التربيعي معناه القيمة غير السالبة دائمًا، فأي حل يخلي الطرف الثاني سالبًا يتشطب على طول.

المعادلة الكسرية (rational equation) فيها المتغير في المقام، وفخها مختلف شوي: أي قيمة تخلي أي مقام يساوي صفرًا مرفوضة من البداية، لأن القسمة على صفر غير معرّفة.

مثال:

\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} + 3

نضرب كل الحدود في $(x - 2)$ فتصير $x = 2 + 3(x - 2)$ ، يعني $x = 3x - 4$ ، يعني $x = 2$ . لكن $x = 2$ تخلي المقام $x - 2$ يساوي صفرًا، فهي مرفوضة. النتيجة: المعادلة ما لها حل، وهو جواب وارد في أسئلة السات ويجي بصيغة مثل "no solution" أو "zero solutions".

فخلي عندك عادة ثابتة: أول ما تشوف جذرًا أو مقامًا فيه متغير، قل لنفسك "تحقق" قبل ما تبدأ الحل أصلاً، وارجع للمعادلة الأصلية قبل ما تسجل الجواب.

احفظ هذا

كل صيغة للتربيعية تعطيك شيئًا مجانًا: القياسية المقطع الصادي، وصيغة العوامل الجذور، وصيغة الرأس الرأس والقيمة الصغرى أو العظمى.
المميّز، وهو الجزء تحت الجذر في القانون العام، يقول لك عدد الحلول الحقيقية بدون ما تحل: موجب يعني حلين، صفر يعني حلاً واحدًا، سالب يعني ولا حل حقيقي.
مبرهنة العامل تربط أربعة أشياء بشيء واحد: قيمة الدالة صفر، والعامل، والصفر، والمقطع السيني.
الدالة الأسية تضرب في عامل ثابت كل فترة، ونقصان ٢٠٪ يعني الضرب في $0.8$ لا في $0.2$.
أي معادلة فيها جذر أو مقام فيه متغير، عوّض بجوابك في المعادلة الأصلية قبل ما تسجله عشان تشطب الحلول الدخيلة.

افتح وحدة الرياضيات المتقدمة