الفصل 22 من 29 · 8 دقائق قراءة

حل المسائل وتحليل البيانات

Problem-Solving and Data Analysis

هذا المجال حوالي ١٥٪ من أسئلة الرياضيات، يعني قرابة سبعة أسئلة من أصل ٤٤، وكلها نسب ونِسب مئوية ومتوسطات وجداول ورسوم. رياضياته من أسهل ما في الاختبار، ومع ذلك يخسر فيه طلاب كثير درجات، لأن المصيدة مزروعة في قراءة السؤال لا في الحساب. هذا الفصل يعطيك القوانين والقرارات اللي تخليك تكسب هذي الأسئلة كاملة.

النسب والمعدلات والتناسب وتحويل الوحدات

النسبة (ratio) مقارنة بين كميتين، وتنكتب $3:5$ أو $\frac{3}{5}$ . وأول قرار لازم تاخذه: هل هي جزء إلى جزء ولا جزء إلى كل؟

لو نسبة الأولاد إلى البنات في صف هي $3:5$ ، فهذي جزء إلى جزء. مجموع الأجزاء $3 + 5 = 8$ ، فالأولاد $\frac{3}{8}$ من الصف لا $\frac{3}{5}$ . هذي أكثر غلطة تتكرر في النسب، وتاخذ منك السؤال كامل مع إن حسابك سليم.

التناسب (proportion) معادلة بين نسبتين تنحل بالضرب التبادلي. لو ٣ آلات تنتج ٤٢٠ قطعة في الساعة، كم تنتج ٧ آلات بنفس المعدل؟

\frac{3}{420} = \frac{7}{x}

يعني $3x = 2940$ و $x = 980$ . ونتحقق بمعدل الوحدة: كل آلة تنتج $420 \div 3 = 140$ قطعة، و $7 \times 140 = 980$ . تمام.

والقاعدة اللي تحميك: رتّب النسبتين بنفس الترتيب، آلات فوق وقطع تحت في الطرفين. لو قلبت وحدة وتركت الثانية، جوابك بيطلع مقلوبًا وبتلقاه في الخيارات.

تحويل الوحدات (unit conversion) ينحل بإلغاء الوحدات: اكتب كل عامل تحويل ككسر قيمته ١، ورتّبه بحيث الوحدة اللي تبي تتخلص منها تجي مرة فوق ومرة تحت فتنشطب. حوّل ٤٥ كيلومتر في الساعة إلى متر في الثانية:

45 \times \frac{1000}{1} \times \frac{1}{3600} = 12.5

الكيلومتر انشطب مع الكيلومتر والساعة مع الساعة، وبقي متر على ثانية.

وملاحظة عملية: أغلب أسئلة التحويل تعطيك عامل التحويل داخل السؤال نفسه، مثل $1$ inch $= 2.54$ centimeters. استخدم رقمهم ولا تعتمد على رقم محفوظ عندك، والآلة الحاسبة مسموحة في قسم الرياضيات كامل فما فيه داعي تحسب يدويًا.

النسبة المئوية: ثلاث صيغ وقانون واحد للتغيّر

كل أسئلة النسبة المئوية (percent) ترجع لثلاث صيغ، والترجمة الحرفية تكفي لحلها: of تعني ضرب، و is تعني يساوي، و what تعني المجهول.

What is 15 percent of 80? يعني $0.15 \times 80 = 12$ .
12 is what percent of 80? يعني $\frac{12}{80} = 0.15$ ، أي ١٥٪.
12 is 15 percent of what number? يعني $\frac{12}{0.15} = 80$ .

وقانون التغيّر المئوي (percent change) واحد لا يتغير. لو سمّينا القيمة القديمة $O$ والجديدة $N$ :

\frac{N - O}{O} \times 100\%

المقام دائمًا هو القيمة القديمة، مو الجديدة ولا مجموعهما. لو نزل السعر من ٨٠ إلى ٦٠ فالنقصان $\frac{20}{80} = 25\%$ ، ولو رجع من ٦٠ إلى ٨٠ فالزيادة $\frac{20}{60} \approx 33\%$ . نفس الفرق العددي، ونسبتان مختلفتان، لأن نقطة الانطلاق اختلفت.

وأسرع أداة عندك هي المضاعِف (multiplier): زيادة ١٥٪ ضرب في $1.15$ ، ونقصان ١٥٪ ضرب في $0.85$ . خلّ المضاعفات لغتك الأولى في هذا الباب، لأنها هي اللي تمنعك تلقائيًا من جمع النسب.

وأهم تمييز في الفصل كله: النسبة المئوية مقابل النقطة المئوية (percentage point).

ارتفاع البطالة من ٥٪ إلى ٧٪ هو ارتفاع بمقدار نقطتين مئويتين، لأنك طرحت $7 - 5$ مباشرة.
ونفس الحدث بالضبط هو ارتفاع بنسبة ٤٠٪، لأن $\frac{7 - 5}{5} = 0.4$ .

الرقمان صحيحان، وصياغة السؤال هي اللي تحدد المطلوب. شفت percentage points اطرح مباشرة، وشفت percent increase أو percent decrease اقسم على القيمة القديمة. والرقم الثاني تلقاه في الخيارات غالبًا، حاطينه عشان ياخذ اللي يستعجل.

ونتيجة تلخص الباب: زيادة ٢٠٪ يتبعها نقصان ٢٠٪ ما ترجعك للبداية، لأن $1.2 \times 0.8 = 0.96$ ، يعني نزلت ٤٪ عن نقطة انطلاقك.

مثال محلول بالكامل: زيادتان متتاليتان، لا تجمعهما

هذا سؤال بصياغة قريبة من صياغة الاختبار، اقرأه بالإنجليزي أول شي:

The price of a certain stock increased by 30 percent from 2020 to 2021 and then increased by 20 percent from 2021 to 2022. What was the percent increase in the price of the stock from 2020 to 2022?

A) $6\%$

B) $50\%$

C) $56\%$

D) $156\%$

الخطوة الأولى: حط رقمًا سهلاً بدل السعر المجهول. النسب المئوية ما تتأثر بنقطة البداية، فخذ $100$ .

الخطوة الثانية: زيادة ٣٠٪ تعني الضرب في $1.30$ :

100 \times 1.30 = 130

الخطوة الثالثة: طبّق الزيادة الثانية على السعر الجديد، لأن السؤال يقول from 2021 to 2022، ومعناها إن نقطة الانطلاق هي سعر 2021 لا سعر 2020:

130 \times 1.20 = 156

الخطوة الرابعة: احسب التغيّر المئوي من البداية إلى النهاية:

\frac{156 - 100}{100} \times 100\% = 56\%

الجواب C. والطريقة الأسرع بلا أرقام أصلاً: اضرب المضاعفين، $1.30 \times 1.20 = 1.56$ ، فالمضاعف الكلي $1.56$ والزيادة $0.56$ ، أي ٥٦٪. وهذي القاعدة اللي تحفظها: الزيادات المتتالية تُضرب مضاعفاتها، ولا تُجمع نسبها أبدًا.

وليش بقية الخيارات غلط:

**A) $6\%$ :** هنا ضرب الطالب $0.30 \times 0.20 = 0.06$ وقرأ الناتج كأنه الجواب. اللي يُضرب هو المضاعفان $1.30$ و $1.20$ ، لا النسبتان نفسهما. ولاحظ إن $6\%$ أصغر من كل زيادة على حدة، وهذا مستحيل لما تكون الزيادتان موجبتين، فيمديك تشطبه بلا أي حساب.
**B) $50\%$ :** هذي المصيدة الأساسية، وهي جمع $30 + 20$ . وسبب خطئها إن الـ ٢٠٪ الثانية محسوبة على $130$ لا على $100$ ، فقيمتها الحقيقية $26$ لا $20$ . والفرق بين ٥٦ و ٥٠ هو $6$ بالضبط، وهي ٢٠٪ من الـ ٣٠ اللي أُضيفت في السنة الأولى. لو كان السؤال يقول إن الزيادة الثانية محسوبة على سعر 2020، كان جواب ٥٠٪ صحيحًا، لكنه ما قال كذا.
**D) $156\%$ :** الطالب وصل للمضاعف الصحيح $1.56$ وحوّله لنسبة مئوية ونسي يطرح $100\%$ . المضاعف يعني إن السعر الجديد يساوي ١٥٦٪ من السعر القديم، والسؤال يسأل عن الزيادة لا عن النسبة من الأصل، والفرق بين العبارتين ١٠٠٪ بالضبط.

فخذ هذا الفحص قبل ما تسجل: هل الرقم اللي عندي نسبة من الأصل ولا مقدار الزيادة؟ عبارة percent increase تبي الزيادة، وعبارة what percent of the original تبي النسبة من الأصل.

المتوسط والوسيط والمدى: وش تسوي القيمة الشاذة بكل واحد

ثلاثة مقاييس تتكرر كثير في هذا المجال، وكل واحد له تعريف واحد بس:

المتوسط الحسابي (mean): مجموع القيم مقسومًا على عددها.
الوسيط (median): القيمة الوسطى بعد الترتيب تصاعديًا، ولو كان العدد زوجيًا فمتوسط القيمتين الوسطيتين. أكثر خسارة في الوسيط سببها إن الطالب ما رتّب.
المدى (range): أكبر قيمة ناقص أصغر قيمة. رقم واحد، لا فترة ولا زوج أرقام.

وأهم صيغة عملية للمتوسط مو تعريفه بل قلبه. لو $S$ المجموع و $m$ المتوسط و $n$ عدد القيم:

S = m \times n

لأن أغلب أسئلة المتوسط تعطيك متوسطًا وتطلب قيمة ناقصة. مثال: متوسط ٥ أرقام هو ١٢، وأضفنا سادسًا فصار المتوسط ١٤. وش الرقم المضاف؟ المجموع القديم $5 \times 12 = 60$ والجديد $6 \times 14 = 84$ ، فالرقم هو $84 - 60 = 24$ .

والقيمة الشاذة (outlier) هي قيمة بعيدة جدًا عن بقية البيانات. خذ المجموعة $4, 5, 6, 7, 8$ : المتوسط $6$ ، والوسيط $6$ ، والمدى $4$ . بدّل $8$ بـ $38$ فتصير $4, 5, 6, 7, 38$ :

المتوسط قفز من $6$ إلى $12$ ، لأنه يحسب قيمة كل رقم فعليًا.
الوسيط ما تحرك ولا خطوة، باقي $6$ ، لأنه يهتم بالموقع في الترتيب لا بالقيمة.
المدى قفز من $4$ إلى $34$ ، لأنه مبني على الطرفين وحدهما.

فاحفظ الجملة: الشاذة تسحب المتوسط بقوة، وتفجّر المدى، وتكاد ما تحرك الوسيط. ومنها تجي قاعدة الالتواء: ذيل طويل جهة اليمين يعني المتوسط أكبر من الوسيط، وذيل جهة اليسار يعني المتوسط أصغر منه، والتوزيع المتماثل يخليهما متساويين تقريبًا.

وفيه الانحراف المعياري (standard deviation) وهو مقياس التشتت، يعني كم البيانات بعيدة عن متوسطها. السات ما يطلب منك تحسبه أبدًا، يطلب المقارنة بس: المجموعة المتكدّسة حول متوسطها انحرافها أصغر، والمنتشرة انحرافها أكبر.

وانتبه: لو أضفت نفس الرقم لكل القيم، يتحرك المتوسط والوسيط، لكن المدى والانحراف المعياري ما يتغيران، لأن المسافات بين القيم بقيت زي ما هي.

الجداول ثنائية الاتجاه والاحتمال الشرطي

الجدول ثنائي الاتجاه (two-way table) جدول يصنّف نفس المجموعة حسب متغيرين. خذ هذا المثال:

مجموع الطلاب ٢٠٠: ١٢٠ طالب و ٨٠ طالبة.
من الطلاب الـ ١٢٠، فيه ٤٥ يمارسون رياضة.
من الطالبات الـ ٨٠، فيه ٣٥ يمارسن رياضة.
فمجموع من يمارس رياضة $45 + 35 = 80$ .

وكل قصة هذا النوع في جملة وحدة: الفرق بين الأسئلة مو في البسط، الفرق في المقام.

If one of the 200 students is selected at random, what is the probability that the student plays a sport? المقام هو الكل: $\frac{80}{200} = 0.4$ .
If one of the male students is selected at random, what is the probability that he plays a sport? السؤال حصرك في الذكور، فالمقام $120$ : $\frac{45}{120} = 0.375$ .
If one of the students who play a sport is selected at random, what is the probability that the student is male? السؤال حصرك في ممارسي الرياضة، فالمقام $80$ : $\frac{45}{80} = 0.5625$ .

لاحظ إن السؤالين الأخيرين بسطهما واحد وهو $45$ ، ومقاماهما مختلفان، وجواباهما مختلفان تمامًا. هذا هو الاحتمال الشرطي (conditional probability): ما تشتغل على الجدول كامل، تشتغل على صف واحد أو عمود واحد بس.

وإجراء ثابت يمشي معك في كل سؤال جدول:

دوّر العبارة اللي تحصر المجموعة: of those who، among، given that. هذي هي اللي تحدد المقام.
حوّط الصف أو العمود المقصود وخذ مجموعه، وهذا هو المقام.
لقّط الخانة المطلوبة داخله، وهذا هو البسط.
اقرأ آخر سطر: احتمال ولا نسبة مئوية ولا عدد طلاب؟ لو نسبة مئوية اضرب في ١٠٠.

ومصيدة أخيرة: بعض الجداول تترك خانة أو مجموعًا ناقصًا عمدًا. عبّه بالطرح من المجموع أول شي وبعدين ابدأ، لأن اللي يحسب قبل ما يكمل الجدول يخترع مقامًا غلط.

مخطط الانتشار وخط أفضل مطابقة

مخطط الانتشار (scatterplot) رسم فيه نقاط، كل نقطة تمثل مفردة وحدة بقيمتين. وخط أفضل مطابقة (line of best fit) هو الخط اللي يمر بين النقاط بأقرب ما يمكن، وفايدته الوحيدة إنه يعطيك تنبؤًا.

والأسئلة محدودة وتتكرر، وكل وحدة لها قرار:

**قيمة متوقعة عند $x$ معينة: استخدم الخط** لا النقاط. اطلع عموديًا من $x$ لين تقاطع الخط، ثم امش أفقيًا واقرأ $y$ .
قيمة فعلية: استخدم النقطة لا الخط. كلمة actual أو عبارة according to the data تعني النقطة، وكلمة predicted أو عبارة according to the line of best fit تعني الخط. كلمة وحدة تفرق بين جوابين، وغالبًا الاثنان معروضان عليك في الخيارات.
الباقي (residual) هو القيمة الفعلية ناقص المتوقعة. النقطة فوق الخط باقيها موجب، وتحت الخط سالب. والسؤال اللي يقول which data point has the largest residual معناه: أي نقطة أبعد عموديًا عن الخط.
تفسير الميل: التغيّر في $y$ مقابل زيادة وحدة وحدة في $x$ ، ولازم تذكر الوحدة كاملة. ميل $2.5$ في رسم محوره الأفقي سنوات الخبرة ومحوره الرأسي الراتب بالآلاف من الدولارات يعني زيادة $2500$ دولار لكل سنة خبرة. أي خيار يذكر الرقم بدون "لكل سنة" يصف مبلغًا لا معدلاً، فاشطبه.
تفسير المقطع الصادي: قيمة $y$ المتوقعة لما $x = 0$ ، يعني القيمة الابتدائية في سياق السؤال.
شكل العلاقة: نقاط تصعد يعني علاقة موجبة، وتنزل يعني سالبة، والنقاط اللي تنحني بدل ما تمشي على استقامة تعني إن النموذج مو خطي، وساعتها يكون المطلوب نموذجًا تربيعيًا أو أسّيًا حسب الشكل.

وحدّان مبنية عليهما الخيارات الخاطئة:

لا تمدّ الخط خارج نطاق البيانات. لو أعلى قيمة $x$ في الرسم هي $20$ ، فالتنبؤ عند $35$ غير مدعوم، حتى لو الحساب سهل.
الارتباط لا يعني السببية. أي خيار يستخدم causes أو leads to بناءً على مخطط انتشار وحده هو خيار خاطئ في الغالب.

وتذكّر إن Desmos موجود داخل Bluebook، فلو أعطوك جدول نقاط تقدر تدخلها فيه وتشوفها مرسومة قدامك.

العينات والتحيّز: على وش تقدر تعمّم النتيجة

آخر مجموعة أسئلة في هذا الفصل ما فيها حساب أصلاً، فيها قرار واحد: نتيجة هذي الدراسة على مين تنطبق؟

المجتمع (population) هو كل من تبي تتكلم عنهم، والعينة (sample) هي المجموعة اللي فحصتها فعلاً. والحاسم هنا قاعدتان مستقلتان، لا تخلطهما أبدًا:

الاختيار العشوائي (random selection) هو اللي يعطيك حق التعميم، وبس على المجتمع اللي سُحبت منه العينة حرفيًا. سحبت عينة عشوائية من طلاب مدرسة وحدة؟ تعمّم على طلاب تلك المدرسة، لا على طلاب المدينة ولا المملكة.
التوزيع العشوائي على المجموعات (random assignment) هو اللي يعطيك حق ادعاء السببية. بدونه، أقصى ما تقدر تقوله إن فيه ارتباطًا.

فصارت عندك أربع حالات، وهي بالضبط اللي تُبنى عليها الخيارات:

عينة عشوائية و توزيع عشوائي: تعمّم وتتكلم عن السبب.
عينة عشوائية بلا توزيع عشوائي: تعمّم، وما تتكلم عن السبب.
توزيع عشوائي على متطوعين بلا عينة عشوائية: تتكلم عن السبب داخل هذي المجموعة بس، وما تعمّم.
ولا واحد منهما: ولا شي، مجرد وصف لمن شاركوا.

والتحيّز (bias) يدخل من طرق واضحة: متطوعون رشحوا أنفسهم، أو استبيان انتشر في مكان واحد، أو سؤال صياغته توحي بالجواب. أي وحدة من هذي تكسر التعميم مهما كبرت العينة، لأن حجم العينة ما يصلح التحيّز، يصلح الدقة فقط.

وعن هامش الخطأ (margin of error): كل ما كبرت العينة، صغر هامش الخطأ. ونتيجة مثل ٣٨٪ بهامش خطأ ٣٪ تُقرأ كذا: القيم المعقولة للقيمة الحقيقية في المجتمع تقع بين ٣٥٪ و ٤١٪. ما تعني إن ٣٨٪ غلط، ولا إن كل فرد يقع داخل هذا النطاق.

فالقرار العملي يوم الاختبار: دوّر الخيار اللي يسمّي بالضبط المجموعة اللي سُحبت منها العينة ويستخدم لغة محافظة. أي خيار يوسّع الدائرة إلى all students أو all adults وأنت سحبت من مكان واحد فهو غلط، وأي خيار يستخدم كلمة سببية بلا توزيع عشوائي فهو غلط. الخيار الصحيح في هذا النوع عادةً أضيق وأهدأ من غيره.

كتابة الجواب وإدارة الوقت في هذا المجال

جزء من أسئلة هذا المجال يجيك على شكل سؤال إدخال (student-produced response) واسمه الدارج grid-in، يعني ما فيه خيارات، تكتب الجواب بنفسك في صندوق. وحوالي ربع أسئلة الرياضيات من هذا النوع، والباقي اختيار من متعدد بأربعة خيارات. وأسئلة النِسب والاحتمالات والمتوسطات تجي كثير بهذي الصيغة، فقواعد الكتابة تهمك هنا بالذات.

الجواب الموجب له خمس خانات كحد أقصى، والسالب ست خانات، لأن الإشارة تاخذ خانة.
تقدر تكتب الجواب كسرًا أو عددًا عشريًا، والاثنان مقبولان. احتمال $\frac{45}{120}$ تكتبه $3/8$ أو $.375$ ، وكلاهما صحيح.
العدد الكسري ما يُقبل. يعني $1 \frac{2}{3}$ لازم تحوّله إلى $5/3$ أو إلى عدد عشري.
ما فيه فاصلة في الأرقام فوق $999$ . اكتب $1250$ كذا مباشرة.
ما فيه وحدات ولا علامة ٪ ولا رمز عملة. لو طلع معك ٤٠٪ والسؤال يقول what percent فاكتب $40$ ، ولو يقول what is the probability فاكتب $0.4$ . آخر سطر في السؤال هو اللي يحدد الشكل المطلوب، فاقرأه قبل ما تكتب.
لو العدد العشري أطول من الخانات، اقطعه أو قرّبه، بس عبّي الخانات كلها. $2/3$ تكتبها $.666$ أو $.667$ ، وما تكتبها $.66$ .

وما فيه أي خصم على الإجابة الخاطئة، فلا تترك سؤالاً فاضيًا أبدًا. لو ضاق بك الوقت خمّن واكتب أي رقم معقول وامش.

وعن الوقت: قسم الرياضيات وحدتان (modules)، كل وحدة ٢٢ سؤالاً في ٣٥ دقيقة، يعني قرابة ٩٥ ثانية للسؤال في المعدل. أسئلة هذا المجال حسابها قصير، فاعتبرها مكانًا تكسب فيه ثواني تصرفها بعدين على أسئلة الجبر والرياضيات المتقدمة. والآلة الحاسبة مسموحة في قسم الرياضيات كامل، وفيه Desmos مدمج داخل تطبيق Bluebook، فاستخدمه في القسمة والنِسب بدل الحساب اليدوي اللي يجيب أخطاء صغيرة تكلفك سؤالاً.

وفي أسئلة الاختيار من متعدد استعمل أداة الشطب (answer eliminator): اشطب الخيار اللي استبعدته عشان عينك ما ترجع له، واستخدم mark for review لو ترددت، وارجع للسؤال في نهاية الوحدة عن طريق شاشة التنقل بين الأسئلة.

احفظ هذا

الزيادات المتتالية تُضرب مضاعفاتها ولا تُجمع نسبها، والمقام في التغيّر المئوي دائمًا هو القيمة القديمة.
النقطة المئوية طرح مباشر بين نسبتين، أما نسبة التغيّر المئوي فقسمة على القيمة القديمة، وكلمة السؤال هي اللي تحدد المطلوب.
القيمة الشاذة تسحب المتوسط بقوة وتفجّر المدى وتكاد ما تحرك الوسيط.
في الجداول ثنائية الاتجاه، العبارة اللي تحصر المجموعة هي اللي تحدد المقام، وبعدها البسط سهل.
الاختيار العشوائي يعطيك حق التعميم على المجتمع المسحوب منه وحده، والتوزيع العشوائي وحده يعطيك حق الكلام عن السبب.
في أسئلة الإدخال اكتب كسرًا أو عددًا عشريًا بلا وحدات ولا علامة ٪، ولا تكتب عددًا كسريًا، ولا تترك سؤالاً فاضيًا لأن ما فيه خصم على الخطأ.

افتح وحدة تحليل البيانات