الفصل 20 من 29 · 8 دقائق قراءة

الجبر

Algebra

الجبر واحد من أكبر مجالين في قسم الرياضيات، حوالي ٣٥٪ من الأسئلة، يعني قرابة ١٥ سؤال من أصل ٤٤، والرياضيات المتقدمة تاخذ نفس النسبة تقريبًا. وأغلب أسئلة الجبر ما تحتاج ذكاء خارق، تحتاج إجراءات ثابتة تشتغل عليها بسرعة وبدون تردد. وتذكّر إن قسم الرياضيات وحدتان، ٢٢ سؤال و٣٥ دقيقة لكل وحدة، وأداؤك في الوحدة الأولى هو اللي يحدد إذا جتك الوحدة الثانية بالنسخة الأسهل ولا الأصعب. أما داخل الوحدة الواحدة فالأسئلة ما تتغير حسب إجاباتك. يعني إتقان الجبر يشتغل لصالحك في الوحدة الأولى بالذات.

المعادلة الخطية في متغير واحد: خمس خطوات ثابتة

المعادلة الخطية (linear equation) هي معادلة المتغير فيها أسّه ١، بلا $x^2$ وبلا جذر وبلا متغير في المقام. وهدفك فيها واحد دائمًا: تعزل $x$ في طرف لحاله. والقانون الحاكم بسيط: أي شيء تسويه في طرف، سوّه في الطرف الثاني.

امشِ على نفس الترتيب في كل مرة حتى يصير عادة:

فك الأقواس بخاصية التوزيع.
لو فيه كسور، اضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك عشان تخلص منها.
اجمع حدود $x$ في طرف والأرقام في الطرف الثاني.
اقسم على معامل $x$ .
عوّض بالجواب في المعادلة الأصلية للتحقق، لو بقي لك وقت.

مثال سريع:

3(x - 4) + 5 = 2(x + 1)

نفك الأقواس: $3x - 12 + 5 = 2x + 2$ ، يعني $3x - 7 = 2x + 2$ . ننقل $2x$ لجهة و $-7$ للجهة الثانية فيطلع $x = 9$ . نتحقق بالتعويض بـ $x = 9$ في المعادلة الأصلية: الطرف الأيسر $3(9 - 4) + 5 = 20$ ، والطرف الأيمن $2(9 + 1) = 20$ . تمام.

وفيه نوع سؤال يجيك بصيغة How many solutions does the given equation have? وهنا لازم تعرف الحالتين الشاذتين اللي يختفي فيهما المتغير:

عدد لا نهائي من الحلول: لو راح $x$ من الطرفين وبقيت جملة صحيحة دائمًا، مثل $2(x + 3) = 2x + 6$ اللي تنتهي إلى $6 = 6$ . أي قيمة لـ $x$ تضبط.
ولا حل: لو راح $x$ وبقيت جملة كاذبة، مثل $2(x + 3) = 2x + 7$ اللي تنتهي إلى $6 = 7$ . ما فيه أي قيمة تضبط.

ونصيحة توفر لك ثواني: لا تفك القوس لو تقدر تقسم. $4(x - 3) = 20$ أسرع تحلها بقسمة الطرفين على 4 وتصير $x - 3 = 5$ ، ومنها $x = 8$ .

وخذ مثالاً على خطوة الكسور لأنها اللي يتعثر فيها أغلب الطلاب:

\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 4

المقام المشترك هو 6، فنضرب كل حد في 6: $2x + 3(x - 1) = 24$ ، يعني $5x - 3 = 24$ ومنها $x = \frac{27}{5}$ ، أي $5.4$ . والتحقق سهل: $\frac{5.4}{3} = 1.8$ و $\frac{5.4 - 1}{2} = 2.2$ ، ومجموعهما 4.

وفيه صيغة قريبة تجيك بكثرة: يعطونك معادلة فيها أكثر من حرف ويطلبون تعزل حرفًا محددًا، بصيغة مثل Which equation gives w in terms of P and l? تعامل مع بقية الحروف كأنها أرقام عادية وامشِ على نفس الترتيب. خذ محيط المستطيل $P = 2(l + w)$ والمطلوب $w$ : اقسم الطرفين على 2 فتصير $\frac{P}{2} = l + w$ ، ثم اطرح $l$ من الطرفين:

w = \frac{P}{2} - l

ولا تخاف من شكل الحروف. الإجراء هو نفسه، والفرق إن جوابك يطلع تعبيرًا لا رقمًا.

الدالة الخطية: وش يعني الميل والمقطع في سؤال واقعي

الصيغة اللي بتشوفها أكثر شيء هي:

y = mx + b

حيث $m$ هو الميل (slope) و $b$ هو المقطع الصادي (y-intercept). ولو أعطوك نقطتين، الميل يطلع من:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

لكن كثيرًا من أسئلة السات ما تكتفي بحساب الميل، تعطيك موقفًا من الحياة وتسألك عن معنى الرقم داخل الموقف. فاحفظ الترجمتين:

الميل هو معدل التغير (rate of change): كم يتغير $y$ لما يزيد $x$ وحدة واحدة.
المقطع الصادي هو القيمة الابتدائية: قيمة $y$ لما $x = 0$ .

مثال. اشتراك نادٍ رياضي تكلفته الكلية بالريال بعد $t$ شهر:

C(t) = 45 + 12t

هنا $45$ رسوم تسجيل تُدفع مرة وحدة عند البداية، و $12$ هي التكلفة الشهرية. ولو جاك سؤال Which of the following is the best interpretation of 12 in this context? فالجواب الصحيح لازم يذكر الوحدة كاملة: التكلفة تزيد ١٢ ريال لكل شهر. أي خيار يقول ١٢ ريال بدون "لكل شهر" فهو يصف مبلغًا لا معدلاً، واشطبه.

ثلاث نقاط تختصر لك كثير من الأسئلة:

عشان تلقى المقطع الصادي حط $x = 0$ ، وعشان تلقى المقطع السيني (x-intercept) حط $y = 0$ . في سؤال واقعي، المقطع السيني غالبًا يعني اللحظة اللي تصير فيها الكمية صفر.
ميل موجب يعني زيادة، وميل سالب يعني نقصان. لو السؤال يقول "decreases by 8 each year" فالميل $-8$ مو $8$ .
الخطان المتوازيان لهما نفس الميل، والخطان المتعامدان حاصل ضرب ميليهما $-1$ ، يعني $m_1 m_2 = -1$ . والاستثناء الوحيد هو الخط الرأسي، لأنه ما له ميل معرّف، وعموده خط أفقي ميله صفر.

ولو أعطوك نقطتين أو جدول قيم وطلبوا معادلة الخط، امشِ على خطوتين: احسب الميل من قانون الفرق، ثم عوّض بأي نقطة من الاثنتين في $y = mx + b$ وحل لـ $b$ . خذ النقطتين $(2, 7)$ و $(5, 16)$ : الميل هو $\frac{16 - 7}{5 - 2} = 3$ ، وبالتعويض بالنقطة الأولى نحصل $7 = 3(2) + b$ ، يعني $b = 1$ ، فالمعادلة $y = 3x + 1$ . ونتحقق بالنقطة الثانية: $3(5) + 1 = 16$ . تمام.

وانتبه لجدول القيم: العلاقة تكون خطية فقط إذا كانت الزيادة في $y$ ثابتة مقابل زيادة ثابتة في $x$ . لو الزيادة تتضاعف، فهذي دالة أسية لا خطية، وهذا موضوع فصل الرياضيات المتقدمة.

أنظمة المعادلات: ثلاث طرق واختيار الأسرع

نظام المعادلات (system of equations) في أسئلة الجبر غالبًا معادلتان بمتغيرين، والمطلوب زوج $(x, y)$ يحقق الاثنتين معًا. هندسيًا، هو نقطة تقاطع الخطين. عندك ثلاث أدوات، والفرق بينها فرق وقت لا فرق صحة:

التعويض (substitution): استخدمها لما يكون أحد المتغيرات معزولاً أصلاً، أو معامله ١. اعزله من معادلة وحطه في الثانية.
الحذف (elimination): استخدمها لما تكون معاملات أحد المتغيرات متساوية أو متعاكسة. اجمع المعادلتين أو اطرحهما.
Desmos المدمج في تطبيق Bluebook: ارسم المعادلتين واضغط على نقطة التقاطع. الآلة الحاسبة مسموحة في قسم الرياضيات كامل، ويمديك كمان تجيب آلتك الخاصة إذا كانت من الأنواع المعتمدة، فلا تتردد تستخدمها.

مثال بالحذف:

2x + 3y = 12

4x - 3y = 6

معاملات $y$ متعاكسة، فنجمع المعادلتين مباشرة: $6x = 18$ ، يعني $x = 3$ . نعوض في الأولى: $6 + 3y = 12$ ، يعني $y = 2$ . ونتحقق في الثانية: $12 - 6 = 6$ . تمام.

وأحيانًا المعاملات ما تكون جاهزة للحذف، فتحتاج تضرب معادلة كاملة في عدد قبل ما تجمع:

3x + 2y = 16

5x - 4y = 12

اضرب الأولى في 2 فتصير $6x + 4y = 32$ ، وبجمعها مع الثانية يروح $y$ : $11x = 44$ ، يعني $x = 4$ . نعوض في الأولى: $12 + 2y = 16$ ، يعني $y = 2$ . ونتحقق في الثانية: $20 - 8 = 12$ . تمام. والمهم هنا إنك تضرب المعادلة كلها، كل حد فيها بما فيه الطرف الأيمن.

ومثال بالتعويض: عندك $y = 2x - 1$ و $3x + y = 14$ . المتغير $y$ معزول أصلاً، فنحط $2x - 1$ مكانه في المعادلة الثانية: $3x + 2x - 1 = 14$ ، يعني $5x = 15$ و $x = 3$ ، ومنها $y = 5$ . القاعدة العملية: لو شفت متغيرًا معزولاً أو معامله ١، لا تتعب نفسك بالحذف.

وهنا مصيدة تتكرر كثير: اقرأ آخر سطر في السؤال قبل ما تكتب جوابك. ارجع لمثال الحذف فوق، طلع عندنا $x = 3$ و $y = 2$ . لو كان السؤال يطلب $x + y$ فالجواب $5$ ، مو $3$ ولا $2$ . كثير من الطلاب يحلون النظام صح ويخسرون السؤال لأنهم توقفوا عند أول رقم طلع لهم.

حل واحد، ولا حل، أو عدد لا نهائي: الميزان الثلاثي

هذا النوع من الأسئلة متكرر في السات، وهو شبه مجاني لو حفظت الميزان. خذ النظام:

a_1 x + b_1 y = c_1

a_2 x + b_2 y = c_2

قارن ثلاث نسب: نسبة معاملات $x$ ، ونسبة معاملات $y$ ، ونسبة الثوابت.

حل واحد وحيد (one solution): $\frac{a_2}{a_1} \neq \frac{b_2}{b_1}$ . الميلان مختلفان، فالخطان يتقاطعان في نقطة وحدة.
ولا حل (no solution): $\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} \neq \frac{c_2}{c_1}$ . نفس الميل ومقطعان مختلفان، فالخطان متوازيان وما يتقاطعان أبدًا.
عدد لا نهائي من الحلول (infinitely many solutions): $\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1}$ . المعادلتان تصفان نفس الخط.

ترجم العبارات فورًا وأنت تقرأ السؤال:

شفت no solution؟ قل لنفسك: خطان متوازيان، نفس الميل، مقطع مختلف.
شفت infinitely many solutions؟ قل لنفسك: المعادلة الثانية مضاعف كامل للأولى، بما فيها الطرف الأيمن.

والطريقة البديلة لو ما ارتحت للنسب: حوّل المعادلتين إلى صيغة $y = mx + b$ وقارن الميل والمقطع مباشرة. أبطأ شوي، لكنها تعطيك نفس الجواب وتحميك من أخطاء الإشارات.

مثال صغير على الحالة الثالثة. خذ $3x + 2y = 7$ مع $9x + 6y = 21$ . كل معامل في الثانية يساوي ثلاثة أمثال ما يقابله في الأولى، والثابت كذلك لأن $21 = 3 \times 7$ . فالمعادلتان تصفان نفس الخط بالضبط، والحلول لا نهائية. ولو كان الطرف الأيمن في الثانية $20$ بدل $21$ ، تنكسر النسبة الأخيرة ويصير النظام بلا حل، مع إن الطرف الأيسر ما تغير.

وخذ بالك من ثلاث نقاط تخرب المقارنة بالنسب لو غفلت عنها:

خذ النسب بترتيب واحد ثابت، دائمًا الثانية على الأولى في النسب الثلاث. عكس الترتيب في نسبة وحدة يقلب المقارنة كلها.
لو كان أحد المعاملات صفرًا، لا تقسم عليه. ارجع لصيغة $y = mx + b$ وقارن الميل والمقطع.
رتّب المعادلتين قبل المقارنة بحيث تكون $x$ و $y$ في نفس الجهة والثابت في الجهة الثانية. لو كانت وحدة مكتوبة $y = 4x - 1$ والثانية $8x - 2y = 5$ ، لا تقارن قبل ما توحّد الشكل.

وإذا انقلب السؤال وطلب قيمة الثابت اللي تخلي النظام له حل واحد وحيد، فالمطلوب عكس ما فوق: أي قيمة تخلي نسبة معاملات $x$ لا تساوي نسبة معاملات $y$ . وغالبًا يجيك الجواب بصيغة "كل القيم ما عدا قيمة وحدة"، فدور على القيمة اللي تحقق التناسب واعتبرها هي الممنوعة، والباقي كله صحيح.

مثال محلول بالكامل: قيمة الثابت اللي يخلي النظام بلا حل

هذا سؤال مصاغ بنفس الأسلوب اللي بتشوفه في الاختبار:

-3x + 4y = 10

kx - 12y = 20

In the given system of equations, k is a constant. If the system has no solution, what is the value of k?

A) $-9$

B) $-3$

C) $3$

D) $9$

الخطوة الأولى: ترجم العبارة. "no solution" يعني الخطان متوازيان، يعني معاملات $x$ و $y$ متناسبة والثوابت تكسر النسبة.

الخطوة الثانية: لقّط المضاعف من حدود $y$ ، لأنها الحدود اللي كل أرقامها معطاة. عندنا $4y$ في الأولى و $-12y$ في الثانية، و $-12 \div 4 = -3$ . فلو كانت الثانية مضاعفًا للأولى، المضاعف هو $-3$ .

الخطوة الثالثة: طبّق نفس المضاعف على حد $x$ : $(-3) \times (-3) = 9$ . يعني $k = 9$ .

الخطوة الرابعة: تأكد إن الثوابت تكسر النسبة فعلاً. اضرب المعادلة الأولى كاملة في $-3$ :

9x - 12y = -30

والمعادلة الثانية عند $k = 9$ هي $9x - 12y = 20$ . الطرف الأيسر متطابق والطرف الأيمن مختلف، و $-30 \neq 20$ ، فمستحيل تتحقق المعادلتان معًا. إذًا ما فيه حل. الجواب D.

ولو تبي تتأكد بطريقة الميل: الأولى تصير $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2}$ والثانية تصير $y = \frac{k}{12}x - \frac{5}{3}$ . نساوي الميلين: $\frac{k}{12} = \frac{3}{4}$ فيطلع $k = 9$ ، والمقطعان مختلفان، فالخطان متوازيان بالضبط زي ما نبي.

وليش بقية الخيارات غلط:

**A) $-9$ :** غلطة إشارة. الطالب أخذ $12 \div 4 = 3$ وتجاهل السالب في $-12y$ ، فحسب $(-3) \times 3 = -9$ . جرّبها: تصير الثانية $-9x - 12y = 20$ ، ونسبة معاملات $x$ هي $3$ ونسبة معاملات $y$ هي $-3$ . النسبتان مختلفتان، فالميلان مختلفان والخطان يتقاطعان، ويصير للنظام حل واحد وحيد لا "ولا حل".
**B) $-3$ :** الطالب نسخ معامل $x$ من المعادلة الأولى وظن إن التوازي معناه تطابق المعاملات. لكن التوازي يحتاج تناسبًا لا تطابقًا. عند $k = -3$ تصير نسبة معاملات $x$ هي $1$ ونسبة معاملات $y$ هي $-3$ ، فالنظام له حل واحد.
**C) $3$ :** الطالب حسب $12 \div 4 = 3$ وسلّم الجواب عند هذي الخطوة، بدون ما ينتبه للإشارة وبدون ما يطبّق المضاعف على معامل $x$ . عند $k = 3$ تصير نسبة معاملات $x$ هي $-1$ ونسبة معاملات $y$ هي $-3$ ، فالنظام برضه له حل واحد.

لاحظ النمط: ثلاثة خيارات كلها تعطي خطين متقاطعين، وخيار واحد بس يعطي خطين متوازيين. فلو شكيت، عوّض بالخيار وشوف هل النسبتان تتساويان.

المتباينات الخطية: متى تنعكس الإشارة

المتباينة (inequality) تنحل بنفس خطوات المعادلة، مع قاعدة وحدة إضافية تحسم أغلب الأخطاء:

إذا ضربت طرفي المتباينة أو قسمتهما على عدد سالب، اقلب اتجاه الإشارة. والجمع والطرح ما يقلبان الإشارة أبدًا، حتى لو كنت تطرح عددًا سالبًا.

مثال:

-3x + 7 > 22

نطرح 7: $-3x > 15$ . نقسم على $-3$ ونقلب الإشارة: $x < -5$ . نتحقق بقيمة من داخل الحل مثل $x = -6$ : $18 + 7 = 25$ وهي فعلاً أكبر من 22. ونجرّب قيمة من برا مثل $x = -4$ : $12 + 7 = 19$ وهي أصغر من 22، فالحل صحيح.

وفيه انقلاب ثاني ينسونه الطلاب: لو بدّلت أطراف المتباينة، تنقلب معها. $5 > x$ هي نفسها $x < 5$ .

وانتبه لفرق صغير يكلف درجة كاملة: لما يسألك السؤال عن the greatest possible value لعدد صحيح، الجواب هو أكبر عدد صحيح داخل الحل. فلو طلع عندك $x < 7$ فالجواب 6 لا 7، لأن 7 نفسها خارج الحل. أما لو طلع $x \leq 7$ فالجواب 7.

ترجمة الكلمات الإنجليزية اللي تجيك في الأسئلة النصية:

at least أو no less than أو minimum تعني $\geq$ .
at most أو no more than أو maximum تعني $\leq$ .
more than تعني $>$ ، و less than أو fewer than تعني $<$ .

مثال تطبيقي: طالب معه ٢٠٠ ريال، الكتاب بـ ٣٥ ريال والقلم بـ ٨ ريال، ويبي يشتري $b$ كتاب و $p$ قلم بحيث لا يتجاوز ميزانيته:

35b + 8p \leq 200

والمتباينة المركبة (compound inequality) تتحل بنفس المنطق، بس تشتغل على الأطراف الثلاثة مرة وحدة:

-4 \leq 2x - 6 < 8

نضيف 6 للأطراف الثلاثة: $2 \leq 2x < 14$ ، ثم نقسم على 2: $1 \leq x < 7$ .

وفي الرسم: الإشارات $\leq$ و $\geq$ تُرسم بخط متصل لأن الخط نفسه داخل الحل، و $<$ و $>$ بخط متقطع. وعشان تعرف أي جهة تُظلَّل، عوّض بنقطة سهلة مثل $(0, 0)$ : لو حققت المتباينة فالتظليل في جهتها. ولو السؤال يعطيك خيارات بنقاط، أسهل شيء تعوّض كل نقطة في المتباينتين وتشطب اللي ما تحقق الاثنتين.

قرارات يوم الاختبار في أسئلة الجبر

عندك ٢٢ سؤال في ٣٥ دقيقة لكل وحدة رياضيات، أي حوالي ٩٥ ثانية للسؤال. وأسئلة الجبر هي أرخص أسئلة من ناحية الوقت لو استخدمت القرارات الصحيحة:

التعويض بالخيارات (backsolving): لو السؤال يعطيك أربعة أرقام والمعادلة معقدة، عوّض بالخيارات بدل ما تحل. والخيارات الرقمية غالبًا مرتبة تصاعديًا، فابدأ من B أو C، ولو طلعت النتيجة أكبر من المطلوب تعرف إن اتجاهك للأصغر والعكس.
التعويض بأرقام لما تكون الخيارات نفسها فيها متغيرات. اختر رقمًا سهلاً غير 0 و 1، وطبّقه على السؤال وعلى الخيارات الأربعة.
Desmos أولاً في أسئلة الأنظمة والمتباينات. ارسم وشوف نقطة التقاطع أو المنطقة المشتركة. أسرع وأدق من الحل اليدوي، خصوصًا مع الكسور.
آخر سطر في السؤال هو الأمر. $x$ ولا $x + y$ ولا $2x - 1$ ؟ ارجع له قبل ما تسجل.

وحوالي ربع أسئلة الرياضيات من نوع الإجابة المكتوبة (student-produced response أو grid-in)، وفيها شروط شكلية تقدر تخسر بسببها جوابًا صحيحًا:

خمسة رموز كحد أقصى للجواب الموجب، وستة للسالب.
ما فيه فاصلة في الأرقام فوق ٩٩٩.
الكسور والأعداد العشرية كلها مقبولة، لكن الأعداد الكسرية المختلطة غير مقبولة. لو جوابك $\frac{8}{3}$ اكتبه $8/3$ أو $2.66$ أو $2.67$ ، ولا تكتبه أبدًا بصيغة عدد صحيح وكسر بجانبه.
لا وحدات ولا علامة نسبة مئوية ولا رمز عملة.
لو العدد العشري ما يسع الصندوق، اقطعه أو قرّبه، بس عبّي الصندوق كامل.

وأخيرًا: ما فيه خصم على الإجابة الخاطئة في السات. أي سؤال جبر عدّى الدقيقتين وأنت واقف عنده، اشطب الخيارات اللي تقدر تستبعدها بأداة شطب الخيارات (answer eliminator)، خمّن من الباقي، علّم السؤال بـ علامة المراجعة (mark for review)، وامشِ. وبأداة متصفح الأسئلة (question navigator) ترجع له بسرعة لو بقي وقت. ولا تترك صندوقًا فاضيًا ولا سؤالاً بلا إجابة قبل ما تنتهي الوحدة.

احفظ هذا

الجبر حوالي ٣٥٪ من أسئلة الرياضيات، وأغلبه إجراءات ثابتة تتقنها بالتكرار لا بالذكاء.
في السياق الواقعي، الميل هو معدل التغير لكل وحدة والمقطع الصادي هو القيمة الابتدائية، واذكر الوحدة في أي تفسير.
لا حل يعني خطين متوازيين، نفس الميل ومقطع مختلف. وعدد لا نهائي من الحلول يعني المعادلة الثانية مضاعف كامل للأولى.
في المتباينات، الضرب أو القسمة على عدد سالب يقلب الإشارة، وكذلك تبديل الطرفين.
اقرأ آخر سطر في السؤال قبل ما تسجل جوابك، وراجع شروط صندوق الإجابة المكتوبة عشان ما يضيع جواب صحيح.

افتح وحدة الجبر