الهندسة وحساب المثلثات

ابدأ من ثلاث حقائق ما تتغير أبدًا:

وبعدها تجي الفكرة اللي تحل لك أغلب أسئلة الزوايا. لما يقطع خط مستقيم اسمه القاطع (transversal) خطين متوازيين، تتكوّن ثماني زوايا. الطلاب يحفظون الأسماء الأربعة ويضيعون بينها: المتناظرة (corresponding angles) متساوية، و المتبادلة الداخلية (alternate interior angles) متساوية، و المتحالفة الداخلية (same-side interior angles) متكاملة.

بس فيه اختصار أسرع وأأمن من الأسماء كلها:

**الثماني زوايا ما لهن إلا قيمتان: قيمة حادة وقيمة منفرجة، ومجموعهما $180^\circ$.**

يعني لو عرفت زاوية وحدة، عرفتهن كلهن. كل زاوية تشبهها في الشكل تساويها، وكل زاوية على العكس منها تكمّلها إلى $180^\circ$. والحالة الوحيدة الشاذة إن القاطع يكون عموديًا، فتصير الزوايا كلها $90^\circ$.

مثال. خطان متوازيان يقطعهما قاطع، وإحدى الزوايا $58^\circ$. إذًا كل زاوية حادة في الشكل $58^\circ$، وكل زاوية منفرجة $180 - 58 = 122^\circ$. خلاص انتهى السؤال، بلا ما تتذكر هل هذي متبادلة داخلية ولا متناظرة.

ونفس المنطق ينقلك للمثلث. مجموع زوايا المثلث $180^\circ$، وهذي مكتوبة لك في ورقة المعادلات داخل الاختبار. ويترتب عليها قاعدتان تتكرران:

التشابه (similarity) هو العمود الفقري لهندسة السات، وأكثر شيء يضيّع على الطلاب وقتًا لأنهم ما ينتبهون إنه موجود في الشكل من الأساس.

مثلثان متشابهان إذا تساوت زواياهما. ويكفيك زاويتان: لو تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث ثاني، فالثالثة تطابقت تلقائيًا لأن المجموع $180^\circ$. وهذي تسمى قاعدة الزاوية والزاوية (AA).

ولما يتشابه مثلثان، تصير الأضلاع المتناظرة متناسبة لا متساوية. يعني فيه رقم واحد اسمه معامل التشابه (scale factor) تضرب فيه كل ضلع في المثلث الأول عشان تطلع نظيره في الثاني.

وهذي أشهر أربعة أشكال تخبّي فيها المسألة مثلثين متشابهين:

مثال. في المثلث $ABC$ رُسم $DE$ موازيًا لـ $BC$، وعندنا $AD = 4$ و $DB = 6$ و $DE = 5$. كم طول $BC$؟ المثلث $ADE$ يشبه المثلث $ABC$. وانتبه للفخ: الضلع المناظر لـ $AD$ هو $AB$ كاملاً لا $DB$، و $AB = 4 + 6 = 10$. فمعامل التشابه $\frac{10}{4} = 2.5$، ومنها $BC = 5 \times 2.5 = 12.5$.

وأخطر خطأ في التشابه إنك تقابل الضلع الغلط بالضلع الغلط. والقاعدة اللي تحميك: ترتيب الحروف في كتابة التشابه مو صدفة. لو كتبوا $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ فمعناها $A$ تقابل $D$، و $B$ تقابل $E$، و $C$ تقابل $F$، وبالتالي:

وحقيقة أخيرة تجيك في أسئلة المساحة: لو كان معامل التشابه بين الأطوال $k$، فنسبة المساحتين $k^2$. مثلثان معامل تشابههما $3$ تكون نسبة مساحتيهما $9$ لا $3$.

نظرية فيثاغورس (the Pythagorean theorem) تنطبق على المثلث القائم فقط:

حيث $c$ هو الوتر (hypotenuse)، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو دائمًا أطول ضلع في المثلث. وأشهر غلطة هنا إن الطالب يحط ضلعًا معطى مكان $c$ وهو مو الوتر. فأول شيء تسويه: حدد الزاوية القائمة، والضلع المقابل لها هو $c$.

مثال مباشر: ساقان $9$ و $12$، فالوتر $\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$. ومثال عكسي: الوتر $13$ وإحدى الساقين $5$، فالساق الثانية $\sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$. لاحظ الفرق: مرة تجمع ومرة تطرح، والفيصل هو هل المجهول وتر ولا ساق.

وعشان توفر ثواني حقيقية، احفظ الثلاثيات الفيثاغورية (Pythagorean triples) اللي يعيدها الاختبار:

وأي مضاعف لها ثلاثية كذلك: $6, 8, 10$ و $9, 12, 15$ و $10, 24, 26$ و $15, 36, 39$. فلو شفت $30$ و $40$ في مثلث قائم، لا تحسب، الوتر $50$.

لكن مو كل مثلث قائم أطواله أعداد صحيحة. فيه مثلثان تتكرر نسبهما بكثرة، وهما مرسومان لك في ورقة المعادلات داخل الاختبار، بس اللي حافظ نسبهما يخلّص السؤال وهو مكانه، واللي يرجع للورقة كل مرة يضيّع وقتًا هو أحوج له في آخر الموديول (module)، يعني الجزء اللي مدته ٣٥ دقيقة و٢٢ سؤالاً.

المثلث 45-45-90 وهو نصف المربع المقطوع بقطره، ونسب أضلاعه:

الساقان متساويان، والوتر يساوي الساق مضروبًا في $\sqrt{2}$. فلو الساق $7$ فالوتر $7\sqrt{2}$. ولو الوتر $10$ فالساق $\frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.

المثلث 30-60-90 وهو نصف المثلث المتساوي الأضلاع، ونسب أضلاعه:

وبالتفصيل، مرتبة حسب الزاوية المقابلة لكل ضلع:

والقرار اللي لازم تاخذه يوم الاختبار قبل ما تكتب أي رقم: حدد أي ضلع أعطوك. إذا أعطوك الساق القصيرة فالمسألة مجانية، تضرب في $\sqrt{3}$ وفي $2$ وخلاص. أما إذا أعطوك الساق الطويلة أو الوتر، فأول خطوة إنك ترجع للساق القصيرة $x$ وبعدين تكمل. والطالب اللي يتخطى هذي الخطوة يوقع في الفخ اللي بنشوفه في المثال الجاي.

من أكثر الصيغ اللي تربك الطلاب في المثلث 30-60-90 إن الضلع المعطى يكون الساق الطويلة لا القصيرة. وهذا سؤال مكتوب بنفس أسلوب صياغة الاختبار:

In right triangle ABC, the measure of angle C is 90° and the measure of angle A is 30°. If the length of side AC is 12, what is the length of side AB?

A) $6$

B) $4\sqrt{3}$

C) $8\sqrt{3}$

D) $24$

الخطوة الأولى: كمّل الزوايا. عندنا $C = 90^\circ$ و $A = 30^\circ$، ومجموع زوايا المثلث $180^\circ$، إذًا $B = 60^\circ$. فهذا مثلث 30-60-90.

الخطوة الثانية: ترجم أسماء الأضلاع إلى مواقع. الضلع $AC$ طرفاه $A$ و $C$، إذًا هو الضلع المقابل للرأس الثالث $B$، وزاوية $B$ هي $60^\circ$. يعني $AC$ هو الساق الطويلة. والضلع $AB$ طرفاه $A$ و $B$، فهو مقابل $C$ اللي زاويتها $90^\circ$، إذًا $AB$ هو الوتر. هذي الخطوة وحدها هي السؤال كله، والباقي حساب.

الخطوة الثالثة: ارجع للساق القصيرة. الساق الطويلة تساوي $x\sqrt{3}$، فنحل:

الخطوة الرابعة: اطلع للوتر. الوتر يساوي $2x$:

الخطوة الخامسة: تحقق بفيثاغورس. الساقان $4\sqrt{3}$ و $12$:

متطابقة، والوتر فعلاً أطول ضلع في المثلث. الجواب C.

ولو تبيها بحساب المثلثات مباشرة، الزاوية $B = 60^\circ$ والضلع المقابل لها $AC$ والوتر $AB$:

نفس النتيجة.

وليش بقية الخيارات غلط:

وهنا فائدة عملية تستخدمها يوم الاختبار: بمجرد ما عرفت إن $AB$ وتر، تقدر تشطب $A$ و $B$ فورًا بأداة شطب الخيارات لأن كليهما أصغر من $12$. يبقى خياران بس، وحتى لو خلص وقتك وخمّنت، فرصتك صارت ٥٠٪ بدل ٢٥٪. وما فيه خصم على الغلط، فما فيه أي سبب تترك السؤال فاضي.

القانونان الأساسيان موجودان في ورقة المعادلات:

لكن الاختبار غالبًا يبني السؤال على جزء من الدائرة لا على الدائرة كاملة، وهنا تشتغل فكرة واحدة تحل النوع كله: نسبة الزاوية إلى الدائرة كاملة.

أي زاوية مركزية (central angle) قياسها $\theta$ درجة تقتطع من الدائرة كسرًا مقداره $\frac{\theta}{360}$. طبّق هذا الكسر على المحيط يعطيك طول القوس (arc length)، وطبّقه على المساحة يعطيك مساحة القطاع (sector area):

مثال: دائرة نصف قطرها $9$ وفيها زاوية مركزية $40^\circ$. الكسر $\frac{40}{360} = \frac{1}{9}$. إذًا طول القوس $\frac{1}{9} \times 18\pi = 2\pi$، ومساحة القطاع $\frac{1}{9} \times 81\pi = 9\pi$.

وبتشوف الراديان (radian) في بعض الأسئلة. الدائرة الكاملة $360^\circ$ وهي نفسها $2\pi$ راديان، وهاتان الحقيقتان مكتوبتان في ورقة المعادلات. والتحويل:

فمثلاً $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ و $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ و $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ و $90^\circ = \frac{\pi}{2}$. ولو كانت الزاوية معطاة بالراديان، القوانين تصير أقصر: طول القوس $= r\theta$، ومساحة القطاع $= \frac{1}{2} r^2 \theta$.

وفيه علاقة تجيك بين حين وآخر: الزاوية المحيطية (inscribed angle) اللي رأسها على الدائرة تساوي نصف الزاوية المركزية اللي تشترك معها في نفس القوس.

أما معادلة الدائرة (equation of a circle) في المستوى الإحداثي فهي غير موجودة في ورقة المعادلات، فاحفظها:

حيث $(h, k)$ هو المركز و $r$ نصف القطر. وانتبه لمصيدتين:

وأحيانًا يعطونك المعادلة بصيغتها المفكوكة ويطلبون المركز أو نصف القطر، فتحتاج إكمال المربع (completing the square). خذ:

اجمع حدود $x$ مع بعض وحدود $y$ مع بعض، وخذ نصف المعامل وربّعه: نصف $-6$ هو $-3$ ومربعه $9$، ونصف $4$ هو $2$ ومربعه $4$. أضف الرقمين للطرفين:

إذًا المركز $(3, -2)$ ونصف القطر $5$. ولو استعجلت، اكتب المعادلة كما هي في Desmos داخل Bluebook وهو يرسم لك الدائرة وتقرأ المركز من الرسم مباشرة.

ورقة المعادلات تعطيك قوانين الحجوم جاهزة، فالمشكلة مو في حفظها، المشكلة في إنك تعرف متى تستخدم كل واحد:

ولاحظ النمط اللي يريحك: المخروط ثلث الأسطوانة اللي لها نفس القاعدة ونفس الارتفاع، والهرم ثلث المنشور المقابل له. أي شكل ينتهي برأس مدبب، فيه ثلث.

أما المساحة السطحية (surface area) فهي مو موجودة في ورقة المعادلات، والاختبار يبيك تبنيها بنفسك بجمع مساحات الأوجه:

وأكثر سؤال يتكرر في هذا الموضوع مو حسابًا مباشرًا، بل تغيير الأبعاد. احفظ الميزان الثلاثي:

مثال يوضح الفرق. أسطوانة نصف قطرها $3$ وارتفاعها $10$، حجمها $\pi \times 9 \times 10 = 90\pi$. لو ضاعفنا نصف القطر فقط ليصير $6$، يصير الحجم $\pi \times 36 \times 10 = 360\pi$، أي أربعة أضعاف لا ضعفين، لأن $r$ مربّع في القانون. أما لو ضاعفنا الارتفاع فقط، فالحجم يصير ضعفين بالضبط لأن $h$ أسّه واحد. فلا تجاوب من الحدس، شوف أس كل متغير في القانون.

ونوع ثاني يجيك كثير: المجسم المركّب، يعني شكل مكوّن من قطعتين أو شكل مقطوع منه جزء. وما له قانون خاص، فيه جمع وطرح بس. لو كان عندك أسطوانة نصف قطرها $2$ وارتفاعها $9$ وحُفر منها مخروط له نفس القاعدة ونفس الارتفاع، فالباقي هو حجم الأسطوانة ناقص حجم المخروط:

يعني ثلثي الأسطوانة، وهذي نتيجة تقدر تتوقعها قبل ما تحسب، لأن المخروط ثلثها.

وانتبه لفرق يخربط كثير من الطلاب: الارتفاع المائل (slant height) في المخروط والهرم مو نفسه الارتفاع العمودي $h$. قوانين الحجم تبي الارتفاع العمودي، وهو العمود النازل من الرأس على مركز القاعدة. فلو أعطوك الارتفاع المائل ونصف القطر، اطلع الارتفاع العمودي بفيثاغورس أول، وبعدين احسب الحجم.

ونصائح تنفيذية تختم الموضوع:

حساب المثلثات (trigonometry) في السات محصور في المثلث القائم، وثلاث نسب بس، وتُختصر بالكلمة المشهورة SOH CAH TOA. خذ أي زاوية حادة $\theta$ داخل مثلث قائم:

والمفتاح كله في إن المقابل والمجاور يتبادلان لو غيّرت الزاوية اللي تنظر منها. الوتر وحده ثابت لأنه دائمًا مقابل الزاوية القائمة.

مثال: مثلث قائم أضلاعه $3$ و $4$ و $5$، والزاوية $A$ مقابلة للضلع $3$. إذًا $\sin A = \frac{3}{5}$ و $\cos A = \frac{4}{5}$ و $\tan A = \frac{3}{4}$. ولو نظرنا للزاوية الحادة الثانية $B$، انقلب كل شيء: $\sin B = \frac{4}{5}$ و $\cos B = \frac{3}{5}$.

ولاحظ وش صار في السطر اللي فوق: جيب $A$ طلع نفس جيب تمام $B$. وهذي متطابقة الزاوية المتممة (the complementary angle identity)، وهي من أكثر الأفكار تكرارًا في أسئلة حساب المثلثات:

وسببها بديهي بمجرد ما تشوفه: في أي مثلث قائم، الزاويتان الحادتان مجموعهما $90^\circ$ لأن الثالثة $90^\circ$ والمجموع $180^\circ$. والضلع المقابل لإحداهما هو المجاور للثانية. فنسبة المقابل على الوتر لواحدة هي بالضبط نسبة المجاور على الوتر للثانية.

والسؤال النموذجي يجيك بهذي الصيغة:

In a right triangle, one acute angle has measure x°, and sin(x°) = 5/13. What is the value of cos(90° − x°)?

والجواب $\frac{5}{13}$ مباشرة، بلا رسم ولا حساب ولا آلة حاسبة. أي رقم يعطونك إياه لجيب زاوية هو نفسه جيب تمام متممتها. ولو جاك بالعكس، $\cos(x^\circ) = 0.6$ وسألوك عن $\sin(90^\circ - x^\circ)$، فالجواب $0.6$.

وأربع نقاط تكمّل الموضوع:

وأخيرًا، قرار يوم الاختبار في أي سؤال هندسة عدّى الدقيقتين: ارسم الشكل بسرعة على ورقة المسودة، اشطب بأداة شطب الخيارات أي خيار مستحيل مثل وتر أقصر من ساق أو طول سالب، خمّن من الباقي، علّم السؤال بـ mark for review، وامشِ. ترجع له في آخر الموديول من شاشة التنقل بين الأسئلة لو بقي وقت.